Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）過(guò)點(diǎn)（{1，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}）$，離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的下頂點(diǎn)為A，直線l過(guò)定點(diǎn)$Q（{0，\frac{3}{2}}）$，與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，且滿足|AM|=|AN|．求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）由離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，及a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）討論直線的斜率不存在和存在，設(shè)出直線的方程為y=kx+$\frac{3}{2}$（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由|AM|=|AN|，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理可得k的方程，解方程可得k，進(jìn)而得到所求直線方程．

解答 解：（I）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{3^{2}}$=1，且a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（Ⅱ）若直線的斜率不存在，M，N為橢圓的上下頂點(diǎn)，
即有|AM|=2，|AN|=1，不滿足題設(shè)條件；
設(shè)直線l：y=kx+$\frac{3}{2}$（k≠0），與橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1聯(lián)立，
消去y，可得（1+3k²）x²+9kx+$\frac{15}{4}$=0，
判別式為81k²-4（1+3k²）•$\frac{15}{4}$＞0，化簡(jiǎn)可得k²＞$\frac{5}{12}$，①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{9k}{1+3{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+3=3-$\frac{9{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3}{1+3{k}^{2}}$，
由|AM|=|AN|，A（0，-1），可得
$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（{y}_{1}+1）^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+（{y}_{2}+1）^{2}}$，
整理可得，x₁+x₂+（y₁+y₂+2）（$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$）=0，（y₁≠y₂）
即為-$\frac{9k}{1+3{k}^{2}}$+（$\frac{3}{1+3{k}^{2}}$+2）•k=0，
可得k²=$\frac{2}{3}$，即k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
代入①成立．
故直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$x+$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線的方程的求法，注意聯(lián)立直線和橢圓方程，以及韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．