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設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
3
3
，則該橢圓的離心率為
 
．
分析：先根據
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
3
3
，可得到PF1⊥PF2和∠PF1F2的值，再由|PF1|+|PF2|=|FF2|（cos30°+sin30°）=2a可確定a，c的關系，進而得到離心率的值．
解答：解：由
PF1
•
PF2
=0知，PF1⊥PF2．
由tan∠PF1F2=
3
3
知，∠PF1F2=30°．
則|PF1|+|PF2|=|FF2|(cos30°+sin30°)=(
3
+1)c=2a，
即e=
c
a
=
2
3
+1
=
3
-1．
故答案為：
3
-1．
點評：本題是有關橢圓的焦點三角形問題，卻披上了平面向量的外衣，實質是解三角形知識的運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點，C，原點O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|．
（Ⅰ）證明a=
2
b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命題成立：設圓x2+y2=t2上任意點M（x0，y0）處的切線交橢圓于Q1，Q2兩點，則OQ1⊥OQ2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的動點Q，過動點Q作橢圓的切線l，過右焦點作l的垂線，垂足為P，則點P的軌跡方程為（　　）
A、x2+y2=a2
B、x2+y2=b2
C、x2+y2=c2
D、x2+y2=e2

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科目：高中數學 來源： 題型：

設P是橢圓
x2a2
+y2=1   (a＞1)短軸的一個端點，Q為橢圓上一個動點，求|PQ|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•即墨市模擬）設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，右焦點為F（c，0），方程ax2+bx-c=0的兩個實根分別為x1和x2，則點P（x1，x2）（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

設-1＜a＜-
1
2
，則橢圓
x2
a2
+
y2
(a+1)2
=1的離心率的取值范圍是（　�。�

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