Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x-1}$+ax（a＞0）在（1，+∞）上的最小值為15，函數(shù)g（x）=|x+a|+|x+1|．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{a}{x-1}$+ax=a[（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1]，運用基本不等式可得最小值，解方程可得a的值；
（2）運用|x+5|+|x+1|≥|（x+5）-（x+1）|=4，即可得到所求的最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{a}{x-1}$+ax（a＞0，x＞1）
=a[（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1]≥a（2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+1）=3a，
當且僅當x=2時，取得最小值3a，
由題意可得3a=15，解得a=5；
（2）函數(shù)g（x）=|x+a|+|x+1|=|x+5|+|x+1|，
由|x+5|+|x+1|≥|（x+5）-（x+1）|=4，
當且僅當（x+5）（x+1）≤0，即-5≤x≤-1時，取得等號．
則g（x）的最小值為4．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式和絕對值不等式的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．