Question

12．△ABC所在平面內(nèi)存在一點M，使得|$\overrightarrow{MA}$|²+|$\overrightarrow{MB}$|²+|$\overrightarrow{MC}$|²的值最小，則點M一定是△ABC的（　�。�

• A． 內(nèi)心
• B． 外心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 設(shè)點G是△ABC的重心，利用$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{MG}$+$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MG}$+$\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MG}$+$\overrightarrow{GC}$，求出${\overrightarrow{MA}}^{2}$+${\overrightarrow{MB}}^{2}$+${\overrightarrow{MC}}^{2}$的表達(dá)式的最小值，得出點M與點G重合．

解答 解：設(shè)G是△ABC的重心，則$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{MG}$+$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MG}$+$\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MG}$+$\overrightarrow{GC}$，
∴${\overrightarrow{MA}}^{2}$+${\overrightarrow{MB}}^{2}$+${\overrightarrow{MC}}^{2}$=${\overrightarrow{GA}}^{2}$+${\overrightarrow{GB}}^{2}$+${\overrightarrow{GC}}^{2}$+3${\overrightarrow{MG}}^{2}$+2$\overrightarrow{MG}$•（$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$）
=${\overrightarrow{GA}}^{2}$+${\overrightarrow{GB}}^{2}$+${\overrightarrow{GC}}^{2}$+3${\overrightarrow{MG}}^{2}$；
∴${\overrightarrow{MA}}^{2}$+${\overrightarrow{MB}}^{2}$+${\overrightarrow{MC}}^{2}$≥${\overrightarrow{GA}}^{2}$+${\overrightarrow{GB}}^{2}$+${\overrightarrow{GC}}^{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{MG}$=$\overrightarrow{0}$時“=”成立，
即點M與點G重合時．
∴M為△ABC的重心．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題以及三角形的重心公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．