Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lnx，x＞1\\ \frac{1}{4}x+1，x≤1\end{array}$，g（x）=ax，則方程g（x）=f（x）恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�（注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

• A． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• B． $[{\frac{1}{4}，\frac{1}{e}}）$
• C． $（{0，\frac{1}{4}}]$
• D． $（{\frac{1}{4}，e}）$

Answer 1

分析 作出f（x）與g（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象和交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷a的范圍．

解答 解：作出f（x）與g（x）的函數(shù)圖象，如圖所示：

設(shè)直線y=ax與y=lnx相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=a{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=a}\end{array}\right.$，解得x₀=e，y₀=1，a=$\frac{1}{e}$．
由圖象可知當(dāng)$\frac{1}{4}$≤a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，兩圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程解與函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．