Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC=2，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥BP交BP于點(diǎn)F．

(1)證明：PA∥平面EDB；

(2)證明：PB⊥平面EFD．

 

Answer 1

證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)DC＝2

(1)  連接AC，AC交BD于G，連接EG.依題意得A(2,0,0)，P(0,0，2)，E（0,1,1）.

因?yàn)榈酌?i>ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1,1，0），

且＝(2,0，－2)，＝（1,0，-1）.所以＝2，這表明PA∥EG.而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.

(2)依題意得B(2，2，0)，＝(2，2，－2)．＝（0,1,1），故·＝0＋2-2＝0，所以PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.