Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（Ⅰ）求證：平面MQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若二面角M-BQ-C大小為60°，求QM的長．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由題意易證QB⊥AD，由面面垂直的性質(zhì)可得BQ⊥平面PAD，由此能證明平面MQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）求出平面BQC的法向量和平面MBQ法向量，結(jié)合題意可得λ的方程，解方程可得λ，可得QM的長．

解答： 解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ
又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD． 
如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．
則Q（0，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0），P（0，0，

3

），
∵M(jìn)是PC中點(diǎn)，∴M（-

1

2

，

3

2

，

3

2

），
∴

BM

=（-

1

2

，-

3

2

，

3

2

），

QP

=（0，0，

3

），

QC

=（-1，

3

，0），
設(shè)

QM

=λ

QP

+(1-λ)

QC

，
∵0≤λ≤1，∴

QM

=(λ-1，

3

(1-λ)，

3

λ)，

QB

=（0，

3

，0），
設(shè)平面BQM的法向量

m

=（x，y，z），
則

m • QB = 3 y=0 m • QM =(λ-1)x+ 3 (1-λ)y+ 3 λz=0

，
取x=

3

，得平面MBQ法向量為

m

=（

3

，0，

1-λ

λ

），
平面BQC的法向量為

n

=（0，0，1），
∵二面角M-BQ-C為60°，∴cos60°=

| n • m |

| n |•| m |

=

1-λ λ

3+( 1-λ λ )2

=

1

2

，
∴解得λ=

1

2

，∴

QM

=（-

1

2

，

3

2

，

3

2

），
|

QM

|=

1 4 + 3 4 + 3 4

=

7

2

．

點(diǎn)評：本題考查面面垂直的證明，考查使得二面為60°的線段長的求法，考查向量法在立體幾何中的應(yīng)用，考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．