Question

在數(shù)列中，，其中．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；

（Ⅲ）證明存在，使得對任意均成立．

Answer 1

本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前項和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識與基本方法，考查歸納、推理、運算及靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．

（Ⅰ）解法一：，

，

．

由此可猜想出數(shù)列的通項公式為．

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（1）當(dāng)時，，等式成立．

（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，

那么

．

這就是說，當(dāng)時等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何都成立．

解法二：由，，

可得，

所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故，所以數(shù)列的通項公式為．

（Ⅱ）解：設(shè)，　　　①

　　　　　　　�、�

當(dāng)時，①式減去②式，

得，

．

這時數(shù)列的前項和．

當(dāng)時，．這時數(shù)列的前項和．

（Ⅲ）證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項最大，下面證明：

．　　　�、�

由知，要使③式成立，只要，

因為

．

所以③式成立．

因此，存在，使得對任意均成立．