Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₄=14，a₆=13，{a_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令bn=

1

an2-1

（n∈N₊），數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：

1

8

≤Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（I）設首項為a₁，公差為d，根據(jù)a₂+a₄=14，a₆=13，求出首項與公差，即可求a_n及S_n；
（Ⅱ）確定數(shù)列的通項，利用裂項法求出數(shù)列的和，即可證得結論．

解答：（I）解：設首項為a₁，公差為d，則
∵a₂+a₄=14，a₆=13，∴

2a1+4d=14 a1+5d=13

∴a₁=3，d=2
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n；
（Ⅱ）證明：bn=

1

an2-1

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

∵T_n單調遞增，∴T_n≥T₁=

1

8

∴

1

8

≤Tn＜

1

4

．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查裂項法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．