Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，則

an

n

的最小值為_(kāi)_____．

Answer 1

∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×2+2×1+33
=2×

(n-1)×(n-1+1)

2

+33
=n²-n+33，
上式對(duì)于n=1時(shí)也成立．
∴an=n2-n+33．
∴

an

n

=n+

33

n

-1．
令f(x)=x+

33

x

-1（x＞0）．
則f′(x)=1-

33

x2

=

x2-33

x2

．
由f′（x）＞0，解得x＞

33

；由f′（x）＜0，解得0＜x＜

33

．
∴函數(shù)f（x）在[

33

，+∞)上單調(diào)遞增；在(0，

33

]上單調(diào)遞減．
∵n∈N^*，∴當(dāng)n=5或6時(shí)，f(n)=

an

n

取得最小值．
而f(6)=6+

33

6

-1=

21

2

，f(5)=5+

33

5

-1=

53

5

＞

21

2

，
∴則

an

n

的最小值為f（6）=

21

2

．
故答案為

21

2

．