Question

8．已知函數(shù)f（x）=sinx?cosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），并用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)f（x）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖（先在所給的表格中填上所需的數(shù)值，再畫(huà)圖）；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），然后利用“五點(diǎn)法”進(jìn)行作圖．
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答 解：（I）f（x）=sinx?cosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令X=2x-$\frac{π}{3}$，則x=$\frac{1}{2}$（X-$\frac{π}{3}$）．填表：

x	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	$\frac{7π}{6}$
X	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	1	0	-1	0

…（8分）
（Ⅱ）因?yàn)閤∈[0，$\frac{π}{2}$]，
所以2x∈[0，π]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]…（10分）
所以當(dāng)x=0時(shí)，即2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$，y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，即2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最大值1…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)以及利用五點(diǎn)法進(jìn)行作圖是解決本題的關(guān)鍵．