Question

（本題滿分12分）

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左右焦點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)）在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且△的面積，求以為圓心且與直線相切的圓的方程.

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得：

   橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為.                   …………2分

   所以

   所以又，

   故橢圓的方程為.                …………………………4分

（2）方法一：當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，計(jì)算得到：，

，不符合題意；     ………………6分

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：，

    

由               ，消去得.

    

顯然成立，設(shè)，

則        ……………………8分

又

即   ………………………………9分

又圓的半徑，  …………………………10分

所以

化簡(jiǎn)，得即，解得，……11分

所以，,故圓的方程為： ………………12分

（2）方法二：設(shè)直線的方程為，         ………………5分

    

由             ，消去得，恒成立，

    

設(shè)，則    …………8分

所以

又圓的半徑為，

所以，

解得，所以.           ……………………………………10分

故圓的方程為：.          ……………………………………12分