Question

4．是否存在常數(shù)a，使得函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$在區(qū)間（0，2]上是減函數(shù)，且在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 可考慮用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行求解：可設(shè)x₁＜x₂，求出${y}_{1}-{y}_{2}=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時，需滿足$1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}≤0$，位增函數(shù)時，需$1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}≥0$，這樣根據(jù)x₁，x₂的范圍求出a的范圍，求出a的范圍則存在，否則不存在．

解答 解：可以看出a≤0時，函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$在（0，+∞）為增函數(shù)，不合題意；
∴a＞0；
設(shè)x₁＜x₂，則${y}_{1}-{y}_{2}={x}_{1}+\frac{a}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{a}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
x₁-x₂＜0；
①若原函數(shù)在（0，2]上是減函數(shù)，則：
$\left\{\begin{array}{l}{0＜{x}_{1}≤2}\\{0＜{x}_{2}≤2}\end{array}\right.$；
∴$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}≥\frac{1}{4}$，$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}≥\frac{a}{4}$；
∴$\frac{a}{4}≥1$；
∴a≥4；
②若原函數(shù)在（2，+∞）上是增函數(shù)，則：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}＞2}\\{{x}_{2}＞2}\end{array}\right.$；
∴$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}＜\frac{a}{4}$≤1；
∴a≤4；
∴a=4；
即存在常數(shù)a=4，使得函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$在（0，2]上是減函數(shù)，且在（2，+∞）上是增函數(shù)．

點評 考查增函數(shù)、減函數(shù)的定義，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性定義求出函數(shù)中參數(shù)的方法，不等式的性質(zhì)的運用．