Question

1．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E為邊AD的中點，分別沿BE，CE將△ABE，△DCE折疊，使平面ABE和平面DCE均與平面BCE垂直．

（Ⅰ）證明：AD∥平面BEC；
（Ⅱ）求點E到平面ABCD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明四邊形AMND為平行四邊形，可得AD∥MN，利用線面平行的判定定理證明：AD∥平面BEC；
（Ⅱ）利用V_E-ABC=V_A-BEC，求點E到平面ABCD的距離．

解答 （Ⅰ）證明：分別取BE，CE中點M，N，連接AM，MN，DN，
由已知可得△ABE，△DCE均為腰長為4的等腰直角三角形，
所以AM⊥BE，且AM=2$\sqrt{2}$．
又∵平面ABE⊥平面BCE，且交線為BE，
∴AM⊥平面BEC，
同理可得：DN⊥平面BEC，且DN=2$\sqrt{2}$．
∴AM∥DN，且AM=DN，
∴四邊形AMND為平行四邊形．
∴AD∥MN，
又∵MN?平面BEC，AD?平面BEC，
∴AD∥平面BEC．…（6分）

（Ⅱ）解：點E到平面ABC的距離，也就是三棱錐E-ABC的高h．
連接AC，MC，

在Rt△EMC中有MC=$\sqrt{E{M}^{2}+E{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在Rt△AMC中有AC=$\sqrt{A{M}^{2}+M{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
可得AC²+AB²=BC²，所以△ABC是直角三角形．
由V_E-ABC=V_A-BEC得$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$AB•AC•h=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$BE•EC•AM，
可知h=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴點E到平面ABC的距離為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積方法的合理運用．