Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}sinωxcosωx+\sqrt{2}{cos^2}ωx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{ω＞0}）$，若函數(shù)f（x）在$（{\frac{π}{2}，π}）$上單調(diào)遞減，則實數(shù)ω的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{1}{4}，\frac{5}{8}}]$
• B． $[{\frac{1}{2}，\frac{5}{4}}]$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}]$
• D． $（{0，\frac{1}{4}}]$

Answer 1

分析 化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，由f（x）在$（{\frac{π}{2}，π}）$上單調(diào)遞減，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，求出ω的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}sinωxcosωx+\sqrt{2}{cos^2}ωx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{ω＞0}）$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+cos2ωx）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2ωx
=sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
由函數(shù)f（x）在$（{\frac{π}{2}，π}）$上單調(diào)遞減，
且2ωx+$\frac{π}{4}$∈（ωπ+$\frac{π}{4}$，2ωπ+$\frac{π}{4}$），
得$\left\{\begin{array}{l}{ωπ+\frac{π}{4}≥\frac{π}{2}}\\{2ωπ+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$≤ω≤$\frac{5}{8}$，
∴實數(shù)ω的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{8}$]．
故選：A．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及三角恒等變換應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．