Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x²+ax+1）的定義域為R，函數(shù)g（x）=ln（x²+x+a）的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=ln（x²+ax+1）的定義域為R，可得x²+ax+1＞0恒成立，故有△=a²-12a＜0，由此解得實數(shù)a的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)g（x）=ln（x²+x+a）的值域為R，可得函數(shù)t=x²+x+a能取遍所有的正數(shù)，故有△=a²-12a≥0，由此解得a的范圍，最后取兩個范圍的交集，從而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=ln（x²+ax+1）的定義域為R，
∴x²+ax+1＞0對x∈R恒成立，
∴△₁=a²-4＜0，解得-2＜a＜2，
∴實數(shù)a的取值范圍為（-2，2），
∵函數(shù)g（x）=ln（x²+x+a）的值域為R，
∴函數(shù)t=x²+x+a能取遍所有的正數(shù)，
∴△₂=1-4a≥0，解得a≤

1

4

，
∴實數(shù)a的范圍是（-∞，

1

4

]，
綜上所述，實數(shù)a的范圍是（-2，

1

4

]．
故答案為：（-2，

1

4

]．

點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題．對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進行求解．對于對數(shù)函數(shù)，如果底數(shù)a的值不確定范圍，則需要對底數(shù)a進行分類討論，便于研究對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．屬于中檔題．