Question

【題目】已知圓心為的圓過(guò)原點(diǎn)，且直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn).

（1）求圓的方程；

（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為，且直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn).

①若，求弦的長(zhǎng)；

②若圓上存在點(diǎn)，使得成立，求直線(xiàn)的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②.

【解析】

試題（1）圓心在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，圓心也在過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)上，聯(lián)立求圓心，進(jìn)而得半徑即可；

（2）①垂徑定理即可求弦長(zhǎng)；

②圓上存在點(diǎn)，使得成立，即四邊形是平行四邊形，又，有都是等邊三角形，進(jìn)而得圓心到直線(xiàn)的距離為，列方程求解即可.

試題解析：

（1）由已知得，圓心在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，

圓心也在過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)上，

由得圓心，

所以半徑，

所以圓的方程為；

（2）①由題意知，直線(xiàn)的方程為，即，

∴圓心到直線(xiàn)的距離為，

∴；

②∵圓上存在點(diǎn)，使得成立，

∴四邊形是平行四邊形，

又，

∴都是等邊三角形，

∴圓心到直線(xiàn)的距離為，

又直線(xiàn)的方程為，即，

∴，

解得.