Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0），
（1）由已知，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，
又∵當(dāng)x∈[1，+∞）時，

1

x

≤1，
∴a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）；
（2）當(dāng)a≥1時，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，這時f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=0；
當(dāng)0＜a≤

1

2

，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，這時f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

；
當(dāng)

1

2

＜a＜1時，令f′（x）=0，得x=

1

a

∈（1，2），
又∵對于x∈[1，

1

a

）有f′（x）＜0，對于x∈（

1

a

，2）有f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

，
綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為
①當(dāng)0＜a≤

1

2

時，f（x）_min=ln2-

1

2a

；
②當(dāng)

1

2

＜a＜1時，f（x）_min=ln

1

a

+1-

1

a

；
③當(dāng)a≥1時，f（x）_min=0．