Question

（2006•海淀區(qū)一模）定義在R上的函數y=f（x）既是奇函數又是周期函數，若函數y=f（x）的最小正周期是2，且當x∈（0，1）時，f（x）=log

1

2

（1-x），則f（x）在區(qū)間（1，2）上是（　�。�

A．增函數且f（x）＞0

B．增函數且f（x）＜0

C．減函數且f（x）＞0

D．減函數且f（x）＜0

Answer 1

分析：用變量代換的方法求得：x∈（-1，0）時，f（x）=log

1

2

1

1+x

．根據基本初等函數的單調性與對數的運算性質，得到
f（x）在區(qū)間（-1，0）上的單調性、值域，再根據f（x）的最小正周期是2，即可得到f（x）在區(qū)間（1，2）的情況．

解答：解：當x∈（-1，0）時，可得f（-x）=log

1

2

[1-(-x)]=log

1

2

(1+x)，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴當x∈（-1，0）時，f（-x）=-f（x）=log

1

2

(1+x)，可得f（x）=log

1

2

(1+x)^-1=log

1

2

1

1+x

又∵f（x）的最小正周期是2，
∴f（x）在區(qū)間（1，2）的單調性、值域與f（x）在區(qū)間（-1，0）上的單調性、值域相同
∵t=

1

1+x

在區(qū)間（-1，0）上是減函數，得t=

1

1+x

＜1
∴結合0＜

1

2

＜1，可得log

1

2

1

1+x

＞0，且f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數
故選：B

點評：本題給出含有周期的基本初等函數，在已知它在（0，1）上的表達式的情況下求它在區(qū)間（1，2）的單調性和值域．著重考查了函數奇偶性與單調性的綜合、函數的周期性等知識，屬于基礎題．