Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點.

(1)求證：PB⊥DM;

(2)(理)求CD與平面ADMN所成的角;

(文)求BD與平面ADMN所成的角.

Answer 1

解法一：(1)證明：因為N是PB的中點，PA=AB，所以AN⊥PB.

因為AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB.從而PB⊥平面ADMN.

因為DM平面ADMN，所以PB⊥DM.

(2)(理)解：取AD的中點G，連結BG、NG，則BG∥CD.

所以BG與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN所成的角相等.

因為PB⊥平面ADMN，所以∠BGN是BG與平面ADMN所成的角.

在Rt△BGN中，sin∠BGN=.

故CD與平面ADMN所成的角是arcsin.

(文)解：連結DN，因為PB⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD與平面ADMN所成的角.

在Rt△BDN中，sin∠BDN=.

故BD與平面ADMN所成的角是.

解法二：如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系A—xyz,設BC=1，則A(0,0，0)，P(0,0，2)，B(2,0，0)，C(2,1，0)，M(1, ,1),D(0,2,0).

(1)證明：因為=(2,0,-2)·(1,-,1)=0,所以PB⊥DM.

(2)(理)解：因為=(2,0,-2) ·(0,2,0)=0,所以PB⊥AD.

又因為PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN.

因此〈〉的余角即是CD與平面ADMN所成的角.

因為cos〈〉==,

所以CD與平面ADMN所成的角為arcsin.

(文)解：因為=(2,0,-2)·(0,2,0)=0,所以PB⊥AD.

又PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN.

因此〈〉的余角即是BD與平面ADMN所成的角.

因為cos〈〉=,

所以〈〉=.

因此BD與平面ADMN所成的角為.