Question

如圖,已知長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁,AB=2,AA₁=1,直線BD與平面AA₁B₁B所成的角為30°,AE垂直BD于E,F為A₁B₁的中點.

(1)求異面直線AE與BF所成的角;

(2)求平面BDF與平面AA₁B所成二面角(銳角)的大小.

Answer 1

解:在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,以AB所在的直線為x軸,AD所在的直線為y軸,AA₁所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由已知AB=2,AA₁=1,

可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1).

又AD⊥平面AA₁B₁B,

從而直線BD與平面AA₁B₁B所成的角即為∠DBA=30°.

又AB=2,AE⊥BD,AE=1,AD=,

從而易得E(,,0),D(0,,0).

(1)∵=(,,0),=(-1,0,1),

∴cos〈,〉=,

即異面直線AE與BF所成的角為arccos.

(2)易知平面AA₁B₁B的一個法向量m=(0,1,0),

設(shè)n=(x,y,1)是平面BDF的一個法向量,=(-2,,0),

由

∴n=(1,,1).

∴cos〈m,n〉=,

即平面BDF與平面AA₁B所成二面角(銳角)的大小為arccos.