Question

11．已知銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且2csinB=$\sqrt{3}$b．
（1）求角C的大��；
（2）若邊c=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由2csinB=$\sqrt{3}$b，利用正弦定理可得：2sinCsinB=$\sqrt{3}$sinB，sinB≠0，化為sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又△ABC是銳角三角形，可得C．
（2）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，利用基本不等式的性質(zhì)可得：1=a²+b²-2ab$cos\frac{π}{3}$≥2ab-ab=ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號．即可得出△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）∵2csinB=$\sqrt{3}$b，
∴2sinCsinB=$\sqrt{3}$sinB，
∵sinB≠0，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又△ABC是銳角三角形，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴1=a²+b²-2ab$cos\frac{π}{3}$≥2ab-ab=ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號．
∴△ABC面積的最大值=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、三角形面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．