Question

2．設D是函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的一個子集，若存在x₀∈D，使得f（x₀）=-x₀成立，則稱x₀是f（x）的一個“次不動點”，也稱f（x）在區(qū)間D上存在次不動點．設函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（4^x+a•2^x-1），x∈[0，1]．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的次不動點
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[0，1]上不存在次不動點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，根據(jù)所給a的值，代入后，結(jié)合次不動點的概念建立等式，然后，結(jié)合冪的運算性質(zhì)，求解即可；
（Ⅱ）首先，得log${\;}_{\frac{1}{2}}$（4^x+a•2^x-1）=-x在[0，1]上無解，然后，利用換元法進行確定其范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，函數(shù)f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{4}^{x}+{2}^{x}-1）$，
依題，得$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{4}^{x}+{2}^{x}-1）$=-x，
∴4^x+2^x-1=$（\frac{1}{2}）^{-x}$，
∴4^x+2^x-1=2^x，
∴4^x=1，
∴x=0，
∴函數(shù)f（x）的次不動點為0；
（Ⅱ）根據(jù)已知，得log${\;}_{\frac{1}{2}}$（4^x+a•2^x-1）=-x在[0，1]上無解，
∴4^x+a•2^x-1=2^x在[0，1]上無解，
令2^x=t，t∈[1，2]，
∴t²+（a-1）t-1=0在區(qū)間[1，2]上無解，
∴a=1-t+$\frac{1}{t}$在區(qū)間[1，2]上無解，
設g（t）=1-t+$\frac{1}{t}$，
∴g（t）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
故g（t）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴a＜-$\frac{1}{2}$或a＞1，
又∵4^x+a•2^x-1＞0在[0，1]上恒成立，
∴a＞$\frac{1}{{2}^{x}}-{2}^{x}$在[0，1]上恒成立，
即a＞$\frac{1}{t}-t$在[1，2]上恒成立，
設h（t）=$\frac{1}{t}$-t，
∴h（t）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
故g（t）∈[-$\frac{3}{2}$，0]，
∴a＞0，
綜上實數(shù)a的取值范圍（1，+∞）．

點評 本題綜合考查了函數(shù)恒成立問題、函數(shù)的基本性質(zhì)等知識，理解所給的次不動點這個概念是解題的關鍵，屬于難題．