Question

（本小題滿分12分）如圖，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，拋物線分別以、為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)，與相交于直線上一點(diǎn)．

（1）求橢圓及拋物線的方程；

（2）若動(dòng)直線與直線垂直，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

（1）橢圓C:，拋物線C1：拋物線C2：;（2）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置，開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）解決直線和橢圓的綜合問題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程．第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程．第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系．第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論．

試題解析：（1）由題意可得A（a，0），B（0，），

故拋物線C1的方程可設(shè)為，C2的方程為

1分

由 得 3分

∴橢圓C:，拋物線C1：拋物線C2： 5分；

（2）由（1）知，直線OP的斜率為，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為

由，整理得

設(shè)M（）、N（），則 7分

因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn)，所以

解得 8分

，

∵，

∴ 10分

∵，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，

其最小值等于 12分

考點(diǎn)：橢圓、拋物線的定義及性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系．