Question

8．某種新產品投放市場一段時間后，經過調研獲得了時間x（天數）與銷售單價y（元）的一組數據，且做了一定的數據處理（如表），并作出了散點圖（如圖）．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{10}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{10}（{w}_{i}-\overline{w}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{10}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$	$\sum_{i=1}^{10}（{w}_{i}-\overline{w}）（{y}_{i}-\overline{y}）$
1.63	37.8	0.89	5.15	0.92	-20.6	18.40

表中w_i=$\frac{1}{{x}_{i}}$，$\overline{w}$=$\frac{1}{10}$$\sum_{i=1}^{10}{w}_{i}$．
（Ⅰ）根據散點圖判斷，$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+$\widehat$x與$\widehat{y}$=$\widehat{c}$+$\frac{\widehatbkg0sgk}{x}$哪一個更適宜作價格y關于時間x的回歸方程類型？（不必說明理由）
（Ⅱ）根據判斷結果和表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（Ⅲ）若該產品的日銷售量g（x）（件）與時間x的函數關系為g（x）=$\frac{-100}{x}$+120（x∈N^*），求該產品投放市場第幾天的銷售額最高？最高為多少元？
附：對于一組數據（u₁，v₁），（u₂，v₂），（u₃，v₃），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{v}_{i}-\overline{v}）（{u}_{i}-\overline{u}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （I）根據散點圖的大體分布是否成直線分布判斷；
（II）根據回歸系數公式計算y關于w的線性回歸方程，再轉化為y關于x的回歸方程；
（III）求出日銷售額，利用二次函數的性質求出結論．

解答 解：（Ⅰ）由散點圖可以判斷$\widehat{y}$=$\widehat{c}$+$\frac{\widehatflzmx4x}{x}$適合作作價格y關于時間x的回歸方程類型；
（Ⅱ）令w=$\frac{1}{x}$，先建立y關于w的線性回歸方程，由于d=$\frac{18.40}{0.92}$=20，∴c=37.8-20×0.89=20，
∴y關于w的線性方程為y=20+20w，
∴y關于x的線性方程為y=20+$\frac{20}{x}$；
（Ⅲ）日銷售額h（x）=g（x）（20+$\frac{20}{x}$）=-200（$\frac{10}{x}$-12）（$\frac{1}{x}$+1）=-2000[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{10}$）²-12.1]，
∴x=10時，h（x）有最大值2420元，
即該產品投放市場第10天的銷售額最高，最高為2420元．

點評 本題考查了線性回歸方程的求解及數值預測，函數的最值，屬于中檔題．