Question

證明A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)、D(6,0)四點共圓,并求出此圓的圓心和半徑.

Answer 1

思路分析:首先由不共線三點確定一個圓,然后再證第四個點在圓上,用待定系數(shù)法.

解法一:設(shè)所共圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0.

將A、B、D三點坐標(biāo)代入得

故過A、B、D三點的圓的方程為x²+y²-8x-2y+12=0.

把點C(3,-1)代入方程的左邊=9+1-24+2+12=0.

∴點C在該圓上.∵=4,=1,

∴圓心為(4,1),r=

綜上,可得四點共圓于圓心為(4,1),半徑為的圓,

其方程為x²+y²-8x-2y+12=0.

解法二:∵AB邊的中點為(),斜率為k_AB=.

∴AB邊的垂直平分線的方程為y-=-3(x-),

即3x+y-13=0.①∵BC的中點為(4,1),k_BC==2,

∴BC邊的垂直平分線的方程為y-1=-(x-4),

即x+2y-6=0.②,解①②組成的方程組得

∴圓心為(4,1),半徑r=.

∴所求圓的方程為(x-4)²+(y-1)²=5.

  綠色通道:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有三個未知量a,b,r;圓的一般方程有三個未知量D,E,F.故確定一個圓需要三個獨立的條件,一般利用待定系數(shù)法確定.這需要把題目中的已知條件一一轉(zhuǎn)化為關(guān)于未知量的方程,利用方程組獲得a,b,r或D,E,F的值,進而確定圓的方程.其基本步驟為:(1)根據(jù)題意,設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)²+(y-b)²=r²或設(shè)方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0;(2)根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a、b、r或D,E,F的方程組;(3)解方程組,求出a、b、r或D,E,F的值,并把它們代入所設(shè)的方程中去,就得到所求圓的方程.不過有時利用圓的幾何性質(zhì)解題,會有更簡捷的解題途徑.