Question

19．下列命題正確的是（　�。�

• A． 若$\underset{lim}{n→∞}$（a_n•b_n）=a≠0，則$\underset{lim}{n→∞}$a_n≠0且$\underset{lim}{n→∞}$b_n≠0
• B． 若$\underset{lim}{n→∞}$（a_n•b_n）=0，則$\underset{lim}{n→∞}$a_n=0或$\underset{lim}{n→∞}$b_n=0
• C． 若無(wú)窮數(shù)列{a_n}有極限，且它的前n項(xiàng)和為S_n，則$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$a₁+$\underset{lim}{n→∞}$a₂+…+$\underset{lim}{n→∞}$a_n
• D． 若無(wú)窮數(shù)列{a_n}有極限，則$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$a_n+1

Answer 1

分析 對(duì)于A(yíng)，可舉a_n=n，b_n=$\frac{1}{n}$，由數(shù)列極限的公式即可判斷；對(duì)于B，可舉a_n=n，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$，運(yùn)用數(shù)列極限的公式即可判斷；對(duì)于C，可舉a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$，求出極限即可判斷；對(duì)于D，可舉a_n=$\frac{1}{n}$，求出極限，結(jié)合n，n+1趨向于無(wú)窮，即可判斷．

解答 解：對(duì)于A(yíng)，若$\underset{lim}{n→∞}$（a_n•b_n）=a≠0，可舉a_n=n，b_n=$\frac{1}{n}$，
即有$\underset{lim}{n→∞}$a_n不存在，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，故A錯(cuò)；
對(duì)于B，若$\underset{lim}{n→∞}$（a_n•b_n）=0，可舉a_n=n，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$，則$\underset{lim}{n→∞}$a_n不存在，$\underset{lim}{n→∞}$b_n=0，故B錯(cuò)；
對(duì)于C，若無(wú)窮數(shù)列{a_n}有極限，且它的前n項(xiàng)和為S_n，可舉a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$，
即有$\underset{lim}{n→∞}$a_n=0，$\underset{lim}{n→∞}$S_n=2，顯然$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$a₁+$\underset{lim}{n→∞}$a₂+…+$\underset{lim}{n→∞}$a_n不成立，故C錯(cuò)；
對(duì)于D，若無(wú)窮數(shù)列{a_n}有極限，可舉a_n=$\frac{1}{n}$，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，顯然$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n+1}$=0，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用，考查命題正確與否的判斷方法：列舉法，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．