【題目】如圖，OA，OB是兩條互相垂直的筆直公路，半徑OA＝2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區(qū)域．當?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周圍的交通壓力，欲在圓弧AB上新增一個入口P（點P不與A，B重合），并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB，MN，切點分別是B，P．當新建的兩條公路總長最小時，投資費用最低．設∠POA＝
，公路MB，MN的總長為
．
（1）求關于的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；
（2）當為何值時，投資費用最低？并求出的最小值．
【答案】(1) 
;(2) 當
時，投資費用最低，此時
的最小值為
.
【解析】
（1）由題意，設
，利用平面幾何的知識和三角函數(shù)的關系式及三角恒等變換的公式，即可得函數(shù)的關系式；
（2）利用三角函數(shù)的基本關系式和恒等變換的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投資的最低費用，得到答案.
（1）連接
，在
中，
，故
，
據(jù)平面幾何知識可知
,
在
中，
，故
，
所以
，
顯然
，所以函數(shù)的
定義域為
，
即函數(shù)關系式為
，且。
（2）化簡（1）中的函數(shù)關系式可得：
令
，則
，代入上式得：
當且僅當
時取“＝”，此時
求得
，又
，所以
∴當時，投資費用最低，此時的最小值為.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答.
（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；
（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對理科題的概率均為
，答對文科題的概率均為
，若每題答對得10分，否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分
的分布列與數(shù)學期望
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設函數(shù)
，曲線
在點
處的切線方程為
．
（1）求
，
的值；
（2）若
，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（3）設函數(shù)
，且
在區(qū)間
內為減函數(shù)，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）=1+x﹣ 
+ 
﹣ 
﹣…+ 
﹣ 
+ 
，則下列結論正確的是（ ）
A.f（x）在（0，1）上恰有一個零點
B.f（x）在（0，1）上恰有兩個零點
C.f（x）在（﹣1，0）上恰有一個零點
D.f（x）在（﹣1，0）上恰有兩個零點
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對該校200名高三學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間進行調查，如下表：(平均每天鍛煉的時間單位：分鐘)
將學生日均課外體育運動時間在
上的學生評價為“課外體育達標”.
平均每天鍛煉的時間(分鐘) |
|
|
|
|
|
|
總人數(shù) | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面
列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為“課外體育達標”與性別有關？
課外體育不達標 | 課外體育達標 | 合計 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計 |
（2）從上述200名學生中，按“課外體育達標”、“課外體育不達標”分層抽樣，抽取4人得到一個樣本，再從這個樣本中抽取2人，求恰好抽到一名“課外體育不達標”學生的概率.
參考公式：
，其中
.
參考數(shù)據(jù)：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知m、n∈R+ ， f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值為2，證明：4（m2+ 
）的最小值為8．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】函數(shù)f(x)的定義域D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x+1)＋f(2x-6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，為一臺冷軋機的示意圖，冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出.（軋鋼過程中，鋼帶寬度不變，且不考慮損耗）
一對對軋輥的減薄率
.
（1）輸入鋼帶的厚度為
，輸出鋼帶的厚度為
，若每對軋輥的減薄率不超過
，問冷軋機至少需要安裝幾對軋輥？
（2）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為的軋輥，所有軋輥周長均為
，若第
對軋輥有缺陷，每滾動一周在剛帶上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的剛帶上，疵點的間距為
，易知
，為了便于檢修，請計算
，
，
.
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