Question

函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1+3的定義域?yàn)閤．
（Ⅰ）設(shè)t=2^x，求t的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵t=2^x在x上單調(diào)遞增
∴t∈[，]…
（Ⅱ） 函數(shù)可化為：f（x）=g（t）=t²-2t+3
∵g（t）在[，1]上單減，在[1，]上單增…
比較得g（）＜g（），
∴f（x）_min=g（1）=2，f（x）_max=g（）=5-2…
∴函數(shù)的值域?yàn)閇2，5-2]…
分析：（Ⅰ）由題意，可先判斷函數(shù)t=2^x，x單調(diào)性，再由單調(diào)性求出函數(shù)值的取值范圍，易得；
（II）由于函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1+3是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，可由t=2^x，將此復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)g（t）=t²-2t+3，此時(shí)定義域?yàn)閠∈[，]，求出二次函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的值域即可得到函數(shù)f（x）的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的值域的求法，對(duì)數(shù)函數(shù)與一元二次函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)的值域的求法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)，本題的重點(diǎn)在第二小題，將求復(fù)合函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)基本函數(shù)的值域，先求內(nèi)層函數(shù)的值域再求外層函數(shù)的值域，即可得到復(fù)合函數(shù)的值域，求復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題時(shí)要注意此技能使用