Question

10．已知a＞0，b＞0，a+b=1，（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}$）²的最小值（　�。�

• A． 6
• B． 8
• C． 10
• D． $\frac{25}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}$）²=（a²+b²）+（$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）+（$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}$）+6，同時利用基本不等式可得．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}$）²
=（a+$\frac{a+b}{a}$）²+（b+$\frac{a+b}$）²
=（a+1+$\frac{a}$）²+（b+1+$\frac{a}$）²
=（a²+1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+2a+2b+$\frac{2b}{a}$）+（b²+1+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$+2b+2a+$\frac{2a}$）
=（a²+b²）+（$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）+（$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}$）+（1+2a+2b+1+2b+2a）
=（a²+b²）+（$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）+（$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}$）+6
≥$\frac{（a+b）^{2}}{2}$+2$\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{a}^{2}}{^{2}}}$+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}}$+6=$\frac{25}{2}$
當且僅當a=b時以上三式同時取等號，
故選：D

點評 本題考查基本不等式求最值，展開并重新分組為可用基本不等式的形式是解決問題的關鍵，屬中檔題．