Question

已知函數(shù)f（x）=x+alnx，其中a為常數(shù)，且a≤-l，
(Ⅰ)當a=-l時，求f(x)在[e，e²]（e=2.718 28…）上的值域；
(Ⅱ)若f(x)≤e-l對任意x∈[e，e²] 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)當a=-l時，f（x）=x-Inx，
得，
令，即，解得：x＞1，
所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
據(jù)此，函數(shù)f（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
而f(e)=e-1，f（e²）=e²-2，
所以，函數(shù)f(x)在[e，e²]上的值域為[e-1，e²-2]；
（Ⅱ）由，令，得，即x=-a，
當x∈（0，-a）時，f′(x)＜0，函數(shù)f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減；
當x∈（-a，十∞）時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在（-a，+∞）上單調(diào)遞增；
若1≤-a≤e，即-e≤a≤-1，易得函數(shù)f(x)在[e，e²]上為增函數(shù)，
此時，f(x)_max=f(e²)，要使f（x）≤e-1對x∈[e，e²]恒成立，
只需 f(e²)≤e-1即可，
所以，有，即；
而，
即，所以，此時無解；
若e＜-a＜e²，即-e＞a＞-e²，易知函數(shù)f(x)在[e，-a]上為減函數(shù)，在[-a，e²]上為增函數(shù)，
要使f(x)≤e-l對x∈[e，e²]恒成立，
只需，即，
由和，
得；
若-a≥e²，即a≤-e²，易得函數(shù)f(x)在[e，e²]上為減函數(shù)，
此時，f(x)_max=f（e），
要使f(x)≤e-1對x∈[e，e²] 恒成立，
只需 f(e)≤e-l即可，所以有e+a≤e-1，即a≤-1，
又因為a≤-e²，所以a≤-e²；
綜合上述，實數(shù)a的取值范圍是。