Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，1）、（0，-1），動(dòng)點(diǎn)G滿足：直線EG與直線FG的斜率之積為$-\frac{1}{4}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程；
（2）設(shè)A，B為動(dòng)點(diǎn)G的軌跡的左右頂點(diǎn)，P為直線l：x=4上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不在x軸上），連AP交G的軌跡于C點(diǎn)，連PB并延長(zhǎng)交G的軌跡于D點(diǎn)，試問(wèn)直線CD是否過(guò)定點(diǎn)？若成立，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)G的坐標(biāo)（x，y），求出直線EG的斜率，直線FG的斜率，利用已知條件求解即可．
（2）設(shè)P（4，y₀）（y₀≠0），又A（-2，0），則K_AP=$\frac{{y}_{0}}{6}$，得到直線AP的方程，代入橢圓方程求出C的縱坐標(biāo)，求出K_CD，推出直線CD的方程為y=k_CD（x-x_C）+y_C，利用直線系求解即可．

解答 解：（1）已知E（0，1），F(xiàn)（0，-1），設(shè)動(dòng)點(diǎn)G的坐標(biāo)（x，y），
∴直線EG的斜率${k_1}=\frac{y-1}{x}$，直線FG的斜率${k_2}=\frac{y+1}{x}$（x≠0），
又${k_1}×{k_2}=-\frac{1}{4}$，∴$\frac{y-1}{x}×\frac{y+1}{x}=-\frac{1}{4}$，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\;（{x≠0}）$．
（2）設(shè)P（4，y₀）（y₀≠0），又A（-2，0），則K_AP=$\frac{{y}_{0}}{6}$，
故直線AP的方程為：$y=\frac{y_0}{6}（x+2）$，
代入橢圓方程并整理得：4|x-a|-2|x-（1+a）|≤x²+2x-1．
由韋達(dá)定理：x∈[0，+∞）即a＞0，∴${y_C}=\frac{{6{y_0}}}{{9+{y_0}^2}}$，
同理可解得：${x_D}=\frac{{2{y_0}^2-2}}{{1+{y_0}^2}}，\;{y_D}=\frac{{-2{y_0}}}{{1+{y_0}^2}}$，∴${k_{CD}}=\frac{{{y_C}-{y_D}}}{{{x_C}-{x_D}}}=\frac{{2{y_0}}}{{3-{y_0}^2}}$，
故直線CD的方程為y=k_CD（x-x_C）+y_C，即$（3-{y_0}^2）y+2{y_0}（-x+1）=0$，
∴直線CD恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．