Question

11．若函數f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）在區(qū)間（0，1）上有兩個零點，則（1+b）c+c²的取值范圍是（0，$\frac{1}{16}$）．

Answer 1

分析 若函數f（x）在區(qū)間（0，1）上有兩個零點，為x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），即f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0，進而結合基本不等式可得c²+﹙1+b﹚c的范圍即可．

解答 解：f（x）=x²+bx+c的兩個零點為x₁，x₂，
不妨設為：0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x）=（x-x₁）（x-x₂）．
又f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0
∴c（1+b+c）=f（0）f（1），
而0＜f（0）f（1）=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）＜${（\frac{{x}_{1}+1{-x}_{1}}{2}）}^{2}$${（\frac{{x}_{2}+1{-x}_{2}}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{16}$，
即c（1+b+c）=c²+﹙1+b﹚c＜$\frac{1}{16}$，
故答案為：（0，$\frac{1}{16}$）．

點評 本題考查了二次函數的性質，基本不等式的性質，是一道中檔題．