Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁＞0，且3a₈=5a₁₃，則{S_n}中最大項為

S₂₀

．

Answer 1

分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出a₈與a₁₃的關(guān)系，再由已知的3a₈=5a₁₃，聯(lián)立用d表示出a₈，利用等差數(shù)列的通項公式化簡后，用d表示出a₁，利用等差數(shù)列的求和公式表示出S_n，將表示出的a₁代入，整理后，得到等差數(shù)列的S_n為關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)a₁大于0，得到d小于0，可得此函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，函數(shù)有最大值，從而利用二次函數(shù)求最值的方法即可得出S_n的最大值，即為{S_n}中的最大項．

解答：解：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：a₁₃=a₈+5d①（d為公差），
又3a₈=5a₁₃，即a₁₃=

3

5

a₈②，
把②代入①得：a₈=-12.5d，
又a₈=a₁+7d，
∴a₁+7d=-12.5d，
∴a₁=-19.5d，
由等差數(shù)列的求和公式得：S_n=na₁+

n(n-1)

2

d，
將a₁=-19.5d代入整理得：S_n=0.5dn²-20dn，
∵a₁＞0，∴d＜0，
∴等差數(shù)列的S_n為二次函數(shù)，依題意是開口向下的拋物線，
∴當(dāng)n=-

-20d

2×0.5d

=20時，S_n最大，最大值為S₂₀，
則{S_n}中最大項為S₂₀．
故答案為：S₂₀

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式，是一個最大值的問題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來解題，通過解題后的反思，找準(zhǔn)自己的問題，總結(jié)成功的經(jīng)驗，吸取失敗的教訓(xùn)，增強(qiáng)解綜合題的信心和勇氣，提高分析問題和解決問題的能力．