Question

20．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{a}{x}$（a∈R，a為常數(shù)），函數(shù)$g（x）={e^{1-x}}+\frac{2a-1}{2}{x^2}-1$（e為自然對數(shù)的底）．
（1）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個數(shù)；
（2）若不等式f（x）≤g（x）對x∈[1，+∞）恒成立，求實數(shù)的a取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，令f'（x）=0，求得a=x-x³，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，求得h（x）取得最大值，分類討論，根據(jù)a的取值范圍，即可判斷函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個數(shù)；
（2）記φ（x）=g（x）-f（x），求導(dǎo)，由φ′（x）≥0，a≥$\frac{2}{3}$，令h（x）=φ′（x），求導(dǎo)，由φ′（x）≥φ′（1）≥0，φ（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，φ（x）≥φ（1）=0恒成立，即f（x）≤g（x）恒成立．

解答 解：（1）求導(dǎo)，$f'（x）=\frac{1}{x}-x-\frac{a}{x^2}$=$\frac{{x-{x^3}-a}}{x^2}$，（x＞0），
由f'（x）=0得：a=x-x³，記h（x）=x-x³，則h'（x）=1-3x²，
由h'（x）=0，得$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，且$0＜x＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，h′（x）＞0，$x＞\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，h'（x）＜0，
∴當(dāng)$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，h（x）取得最大值$\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，又h（0）=0，
（i）當(dāng)a≥$\frac{2\sqrt{3}}{9}$時，f'（x）≤0恒成立，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)；
（ii）當(dāng)0＜a＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$時，f'（x）=0有兩個解x₁，x₂，且0＜x＜x₁時，
當(dāng)x₁＜x＜x₂時，f′（x）＞0，
當(dāng)x＞x₂時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)；
（iii）當(dāng)a≤0時，方程f′（x）=0有一個解x₀，且0＜x＜x₀時f′（x）＜0，
當(dāng)x＞x₀時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）有一個極值點(diǎn)；
（2）記φ（x）=g（x）-f（x）=e^1-x-lnx+ax²-$\frac{a}{x}$-1，（x≥1），
由φ（1）=1-ln1+a-a-1=0，
φ′（x）=-e^1-x-$\frac{1}{x}$+2ax+$\frac{a}{{x}^{2}}$，φ′（1）=-1-1+3a=3a-2，
由φ′（x）≥0，a≥$\frac{2}{3}$，
又當(dāng)a≥$\frac{2}{3}$，x≥1時，令h（x）=φ′（x）=-e^1-x-$\frac{1}{x}$+2ax+$\frac{a}{{x}^{2}}$，h′（x）=e^1-x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a-$\frac{2a}{{x}^{3}}$=e^1-x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a（1-$\frac{1}{{x}^{3}}$）＞0，
φ′（x）≥φ′（1）≥0，φ（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）≥φ（1）=0恒成立，即f（x）≤g（x）恒成立，
綜上實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{2}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及極值的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求寒酸的最值，考查分析問題及解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．