Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量積公式以模的計算公式和向量的夾角公式即可求出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos$\frac{π}{3}$=2×1×$\frac{1}{2}$=1，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4+2×1=6，|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4+4+4=12，
∴|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$，
設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|}$=$\frac{6}{2×2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{6}$，
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．