Question

13．若曲線C上存在點M，使M到平面內兩點A（-5，0），B（5，0）距離之差為8，則稱曲線C為“好曲線”．以下曲線不是“好曲線”的為②．
①x+y=5； ②x²+y²=9�、�$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1�、躼²=16y．

Answer 1

分析 先確定M的軌跡，再研究各選項與M的軌跡的交點情況，即可得到結論．

解答 解：∵M到平面內兩點A（-5，0），B（5，0）距離之差為8，
∴M的軌跡是以A（-5，0），B（5，0）為焦點的雙曲線的右支，方程為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1（x≥4）．
①∵直線x+y=5過點（5，0）與（0，5）直線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1（x≥4）有交點，滿足題意；
②∵x²+y²=9的圓心為（0，0），半徑為3，與M的軌跡沒有交點，不滿足題意；
③∵$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$的右頂點為（5，0），與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1（x≥4）有交點，滿足題意；
④聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{{x}^{2}=16y}\end{array}\right.$，可得y²-9y+9=0，解得$x=±4\sqrt{3}$，y=3，滿足題意．
故答案為：②．

點評 本題考查新定義，考查雙曲線的定義，考查曲線的位置關系，屬于中檔題．