Question

平面上有兩點A（-1，0），B（1，0），P為圓x²+y²-6x-8y+21=0上的一點，試求S=|AP|²+|BP|²的最大值與最小值，并求相應(yīng)的P點坐標(biāo)．

Answer 1

解：把已知圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x-3）²+（y-4）²=4，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則．…（2分）
∵點P（x₀，y₀）在已知圓上，∴=6x₀ +8y₀-21=0，∴S=4（3x₀ +4y₀-10）．
∵（x-3）²+（y-4）²=4，可設(shè)x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ．
∴S=4（3x₀ +4y₀-10）=4（6cosθ+8sinθ+15）=40sin（θ+∅）+60，其中，tan∅=，0＜∅＜．
∵-1≤sin（θ+∅）≤1，∴20≤S≤100，再由tan∅=，0＜∅＜，可得 cos∅=，sin∅=．
當(dāng)S=100時，sin（θ+∅）=1，θ+∅=，θ=-∅．
∴sinθ=cos∅=，cosθ=sin∅=，∴x₀=3+2cosθ=，y₀ =4+2sinθ=．
當(dāng) S=20時，sin（θ+∅）=-1，θ+∅=，θ=-∅．sinθ=-cos∅=-，cosθ=-sin∅=-，
∴x₀=3+2cosθ= y₀ =4+2sinθ=．
∴S的最大值是100，這時點P的坐標(biāo)是，S的最小值是20，這時點P的坐標(biāo)是（）．
分析：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則有S=4（3x₀ +4y₀-10），設(shè)x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ，則S=40sin（θ+∅）+60，其中，tan∅=，0＜∅＜．根據(jù)-1≤sin（θ+∅）≤1，可得
20≤S≤100，當(dāng)S=100時，sin（θ+∅）=1，θ+∅=，θ=-∅，求出點P的坐標(biāo)；同理求得 S=20時點P的坐標(biāo)．
點評：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，點與圓的位置關(guān)系，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．