Question

18．在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為棱AD，BC的中點，連接AF，CE，則異面直線AF與CE所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 畫出立體圖形，根據(jù)中點找平行線，把所求的異面直線角轉(zhuǎn)化為一個三角形的內(nèi)角來計算．

解答 解：由題意可得四面體A-BCD為正四面體，如圖，連接BE，取BE的中點K，連接FK，則FK∥CE，
故∠AFK即為所求的異面直線角或者其補角．
設這個正四面體的棱長為2，在△AKF中，AF=$\sqrt{3}$=CE，KF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，KE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AK=$\sqrt{A{E}^{2}+K{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
△AKF中，由余弦定理可得 cos∠AFK=$\frac{A{F}^{2}+F{K}^{2}-A{K}^{2}}{2AF•FK}$=$\frac{3+\frac{3}{4}-\frac{7}{4}}{2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現(xiàn)平行線的關鍵技巧，屬于中檔題．