Question

4．如圖，BC是⊙O的直徑，AD是平行于BC的弦，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線DE，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
求證：（1）△ABC≌△DCB
（2）DE•DC=AE•BD．

Answer 1

分析 （1）證明∠DBC=∠ACB，即可證明△ABC≌△DCB
（2）證明△AED∽△BAC，可得AE•AC=AB•DE，利用△ABC≌△DCB，可得AB=DC，AC=BD，即可證明DE•DC=AE•BD．

解答 證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠DBC=∠ACB
在△ABC和△DCB中，
∵∠BAC=∠DCB，BC=BC，∠DBC=∠ACB，
∴△ABC≌△DCB；
（2）在△AED和△BAC中，
∵AC∥ED，AD∥BC，
∴∠ADE=∠BCA，∠EAD=∠ABC，
∴△AED∽△BAC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{AC}$，
∴AE•AC=AB•DE，
∵△ABC≌△DCB，
∴AB=DC，AC=BD，
∴DE•DC=AE•BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．