Question

等比數(shù)列{x_n}各項均為正值，y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11．
（1）求證：數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列；
（2）數(shù)列{y_n}的前多少項的和為最大？最大值為多少？
（3）當(dāng)n＞12時，要使x_n＞2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）只要證明y_n+1-y_n為常數(shù)即可
（2）由y₄=17，y₁₇=11，可求公差d，進而可求通項，然后由

yn≥0 yn+1≤0.

可求滿足條件的n
（3）由（2）知，當(dāng)n＞12時，y_n＜0成立，結(jié)合已知可求x_n，進而可求a的范圍

解答：證明：（1）設(shè)等比數(shù)列{x_n}的公比為q，且q＞0．
∵y_n=2log_ax_n，
∴y_n+1-y_n=2log_a（

xn+1

xn

）=2log_aq．
∴{y_n}為等差數(shù)列．
解：（2）設(shè){y_n}的公差為d，由y₄=17，y₁₇=11，
可得d=

y17-y4

17-4

=

11-17

7-4

=-2，y₁=23，
∴y_n=25-2n．
令

yn≥0 yn+1≤0.

可解得

23

2

≤n≤

25

2

．
∵n∈N^*．
∴n=12．
∴{y_n}的前12項之和最大，最大值為S₁₂=144．
（3）由（2）知，當(dāng)n＞12時，y_n＜0成立．
∵y_n=2log_ax_n，
∴x_n=a

yn

2

當(dāng)a＞1，且n＞12時，有x_n=a

yn

2

＜a⁰=1．
這與題意不符，故0＜a＜1．
由0＜a＜1，且n＞12，有x_n=a

yn

2

≥a-

1

2

＞2．
故所求a的取值范圍為0＜a＜

1

4

．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的性質(zhì)、通項公式及和的最值的求解，