Question

12．設(shè)$a=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosx}dx$，則二項(xiàng)式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)是-192．

Answer 1

分析 求定積分可得a=2，在二項(xiàng)式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于2，求得r的值，可得展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：∵$a=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosx}dx$=sinx${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=1-（-1）=2，
∴二項(xiàng)式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•2^6-r•x^3-r，
令3-r=2，求得r=1，可得展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)為-6×2⁵=-192，
故答案為：-192．

點(diǎn)評 本題主要考查求定積分，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．