Question

不等式e^x-x＞ax的解集為P，且[0，2]⊆P，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．（-∞，e-1）

B．（e-1，+∞）

C．（-∞，e+1）

D．（e+1，+∞）

Answer 1

分析：由不等式e^x-x＞ax的解集為P，且[0，2]⊆P?1+a＜[

ex

x

]min，x∈[0，2]，利用導(dǎo)數(shù)求出即可．

解答：解：①當x=0時，不等式e⁰-0＞0對任意實數(shù)x恒成立；
②當x＞0時，不等式e^x-x＞ax可變形為1+a＜

ex

x

，
由不等式e^x-x＞ax的解集為P，且[0，2]⊆P?1+a＜[

ex

x

]min，x∈[0，2]．
設(shè)g(x)=

ex

x

，x∈（0，2]．
g^′（x）=

xex-ex

x2

=

ex(x-1)

x2

，令g^′（x）=0，解得x=1．
當0＜x＜1時，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當1＜x≤2時，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
由此可知：當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值，也即最小值，且f（1）=e．
∴1+a＜e，∴a＜e-1．
故選A．

點評：把問題正確等價轉(zhuǎn)化并熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解題的關(guān)鍵．