Question

已知函數f（x）=-alnx（a∈R），若函數f（x）在[1，2]為增函數，且f′（x）在[1，2]上存在零點（f′（x）為f（x）的導函數），則a的值為________．

Answer 1

1
分析：利用函數的單調性與導數的關系，結合導數求函數的單調區(qū)間的步驟是①求導函數f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數的增區(qū)間（或減區(qū)間），得到a≤x²，在[1，2]上恒成立，從而有a≤1．再利用f′（x）在[1，2]上存在零點，得出a≥1，兩者結合即可求出a的值．
解答：∵函數f（x）=-alnx（a∈R），
∴f′（x）=x-，
∵函數f（x）在[1，2]為增函數，
∴x-≥0在[1，2]上恒成立，
即a≤x²，在[1，2]上恒成立，∴a≤1．
∵且f′（x）在[1，2]上存在零點，
∴存在x∈[1，2]，使得x-=0成立，
即存在x∈[1，2]，使得a=x²
∴a≥1，
∴a=1．
故答案為：1．
點評：本題主要考查了函數的單調性與導數的關系、函數的零點等基本知識，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題．