Question

9．設f（x）=a+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$（a∈R）是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在R上是單調減函數(shù)；
（3）設直線y=$\frac{1-k}{1+k}$（k∈R且為常數(shù)）與函數(shù)f（x）的圖象有交點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0，求出a的值；
（2）利用導數(shù)，證明f（x）在R上是單調減函數(shù)；
（3）求出f（x）=-1+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$∈（-1，1），利用直線y=$\frac{1-k}{1+k}$（k∈R且為常數(shù)）與函數(shù)f（x）的圖象有交點，求k的取值范圍．

解答 （1）解：∵f（x）=a+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$（a∈R）是奇函數(shù)，
∴f（0）=a+1=0，
∴a=-1；
（2）證明：∵f（x）=-1+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{-2{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$＜0，
∴f（x）在R上是單調減函數(shù)；
（3）解：f（x）=-1+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$∈（-1，1），
∵直線y=$\frac{1-k}{1+k}$（k∈R且為常數(shù)）與函數(shù)f（x）的圖象有交點，
∴-1＜$\frac{1-k}{1+k}$＜1，
∴k＞0．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．