【題目】已知函數(shù)
．
（Ⅰ）若
在
處取極值，求
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）當
時，若
有唯一的零點
，求證： 
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）見解析.
【解析】試題分析：
本題考查導數(shù)的幾何意義及導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值中的應用。（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)在
處取極值可得
，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線方程即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，令
，可得
在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增。結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值可得
在
上有唯一零點，設(shè)為
，證明
即可得結(jié)論。
試題解析：
（Ⅰ）∵
，
，
∵
在
處取極值，
∴
，解得
.
,
,
又
.
∴
在點
處的切線方程為
,
即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
令
，
則
由
，可得
在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增。
又
，故當
時， 
；
又
，故
在
上有唯一零點，設(shè)為
，
從而可知
在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，
因為
有唯一零點
，
故
且
靈星計算小達人系列答案
孟建平錯題本系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
是實數(shù)。設(shè)
， 
為該函數(shù)圖象上的兩點，且
.
（1）若函數(shù)
的圖象在點
處的切線互相垂直，且
，求
的最小值；
（2）若函數(shù)
的圖象在點
處的切線重合，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，圓
和
的參數(shù)方程分別是
（
為參數(shù)）和
（
為參數(shù)），以
為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
（Ⅰ）求圓
和
的極坐標方程；
（Ⅱ）射線
： 
與圓
交于點
、
，與圓
交于點
、
，求
的最大值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
=2.71828…為自然數(shù)的底數(shù).
（1）當
時，討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）當
時，求證：對任意的
， 
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知向量a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2).
①當x、y為何值時，a與b共線？
②是否存在實數(shù)x、y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】【題目】【2018江西蓮塘一中、臨川二中高三上學期第一次聯(lián)考】二次函數(shù)
的圖象過原點，對
，恒有
成立，設(shè)數(shù)列
滿足
．
（I）求證：對，恒有
成立；
（II）求函數(shù)的表達式；
（III）設(shè)數(shù)列前
項和為
，求
的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
，函數(shù)
的圖像與函數(shù)
的圖像相切，求
的值；
（2）若
， 
，函數(shù)
滿足對任意
，都有
恒成立，求
的取值范圍；
（3）若
，函數(shù)
,且
有兩個極值點
，其中
，求
的最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
在
處的切線方程為
（1）若
= 
，求證：曲線
上的任意一點處的切線與直線
和直線
圍成的三角形面積為定值；
（2）若
，是否存在實數(shù)
，使得
對于定義域內(nèi)的任意
都成立；
（3）在（2）的條件下，若方程
有三個解，求實數(shù)
的取值范圍．
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