Question

14．給定兩個(gè)長度為2且互相垂直的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧$\widehat{AB}$上變動(dòng)，若$\overrightarrow{OC}=2x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，則x+y的最大值是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，則|$\overrightarrow{OC}$|=2，可以得出x和y的關(guān)系式，
再利用三角換元法求出x+y的最大值．

解答 解：由題意|$\overrightarrow{OC}$|=2，即4x²+y²=4，
∴x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
令x=cosθ，y=2sinθ，
則x+y=cosθ+2sinθ
=$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$（$\frac{1}{\sqrt{5}}$cosθ+$\frac{2}{\sqrt{5}}$sinθ）
=$\sqrt{5}$sin（θ+φ）≤$\sqrt{5}$；
∴x+y的最大值是$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量模的運(yùn)算以及利用三角換元法求最值問題，是中檔題．