Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+ln（x+1）（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上恒有f′（x）＞x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知c₁＞0，且c_n+1=f′（c_n）（n=1，2，…），在（2）的條件下，證明數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．

Answer 1

（1）a=2時(shí)，fx）=x²-2x+ln（x+1），則f′（x）=2x-2+

1

x+1

=

2x 2-2

x+1

，
f′x）=0，x=±

2

2

，且x＞-1，
當(dāng)x∈（-1，-

2

2

）∪（

2

2

，+∞）時(shí)f′x）＞0，當(dāng)x∈（-

2

2

，

2

2

）時(shí)，f′x）＜0，
所以，函f（x）的極大值點(diǎn)x=-

2

2

，極小值點(diǎn)x=

2

2

．
（2）因f′（x）=2x-a+

1

x+1

，f′x）＞x，
2x-a+

1

x+1

＞x，
即a＜x+

1

x+1

，
y=x+

1

x+1

=x+1+

1

x+1

-1≥1（當(dāng)且僅x=0時(shí)等號成立），
∴y_min=1．∴a≤1
（3）①當(dāng)n=1時(shí)，c₂=f′（x）=2c₁-a+

1

c 1+1

，
又∵函y=2x+

1

x

當(dāng)x＞1時(shí)單調(diào)遞增，c₂-c₁=c₁-a+

1

c 1+1

=c₁+1+

1

c 1+1

-（a+1）＞2-（a+1）=1-a≥0，
∴c₂＞c₁，即n=1時(shí)結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，c_k+1＞c_k，c_k＞0則n=k+1時(shí)，
c_k+1=f′（c_k）=2c_k-a+

1

c 1+1

，
c_k+2-c_k+1=c_k+1-a+

1

c k+1+1

=c_k+1+1+

1

c k+1+1

-（a+1）＞2-（a+1）=1-a≥0，
c_k+2＞c_k+1，即n=k+1時(shí)結(jié)論成立．由①，②知數(shù){c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．