Question

3．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$（\sqrt{2}，1）$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（3，2）的直線與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A、B，且$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{BM}$．在線段AB上取點(diǎn)N，若$\overrightarrow{AN}=-λ\overrightarrow{BN}$，證明：動(dòng)點(diǎn)N在定直線上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件列出方程組，解得a²=4，b²=2，即可求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)N，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．利用$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{BM}$．$\overrightarrow{AN}=-λ\overrightarrow{BN}$，列出方程，化簡(jiǎn)整理得到 4（1-λ²）=（3x+4y）（1-λ²），判斷點(diǎn)N在定直線3x+4y-4=0上．

解答 解：（Ⅰ）由題意：$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ \frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\\ \\{c^2}={a^2}+{b^2}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=2，
所求橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題意得，記（3-x₁，2-y₁）=λ（3-x₂，2-y₂），（x-x₁，y-y₁）=-λ（x-x₂，y-y₂），于是有
x₁-λx₂=3（1-λ）①
y₁-λy₂=2（1-λ）②
x₁+λx₂=x（1+λ）③
y₁+λy₂=y（1+λ）④
①×③得   ${x_1}^2-λ{(lán)x_2}^2=3x（1-{λ^2}）$⑤
②×④得   ${y_1}^2-λ{(lán)y_2}^2=2y（1-{λ^2}）$⑥
由點(diǎn)A，B在橢圓C上，得$x_1^2+2y_1^2=4$，$x_2^2+2y_2^2=4$，
⑤+2×⑥得   4（1-λ²）=（3x+4y）（1-λ²）
由題意知λ＞0且λ≠1，所以3x+4y=4，
故點(diǎn)N在定直線3x+4y-4=0上．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，圓錐曲線與向量相結(jié)合的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．