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光線沿直線y=2x+1的方向射在直線y=x上.求反射后的光線所在的直線方程.

試題答案

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思路解析：根據(jù)光學(xué)知識(shí)，入射角等于反射角，可以根據(jù)夾角公式求解，也可以利用對(duì)稱來(lái)求解,后一種更方便.

解法一：設(shè)P（x，y）是反射后的光線所在直線上任意一點(diǎn)，由光學(xué)知識(shí)可知P關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)P′（x₀，y₀）在直線y=2x+1上，∴y₀=2x₀+1.

而所以反射光線所在的直線方程為x=2y+1，即x-2y-1=0.

事實(shí)上，只需將y=2x+1中的x，y對(duì)調(diào)，便可得出此曲線關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線的方程.

解法二：解方程組得交點(diǎn)P（-1，-1）.

在直線y=2x+1上任取一點(diǎn)A（1，3），A點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)B（3，1）必在反射光線所在的直線上，

∴反射光線的方程為PB：=，即x-2y-1=0.

解法三：由方程組得交點(diǎn)P（-1，-1）.過(guò)P點(diǎn)且垂直直線y=x的直線方程為x+y+2=0.

由光學(xué)知識(shí)可知入射線與反射線關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱.

在y=2x+1上任取一點(diǎn)C（0，1），關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為D（-3，-2）.

直線PD：=，即x-2y-1=0為反射光線所在直線的方程.

解法四：解方程組得交點(diǎn)P（-1，-1）.

設(shè)直線y=x到y(tǒng)=2x+1的角為α，則tanα==.

設(shè)反射光線所在直線的斜率為k,則=，則k=，則反射光線所在直線的方程為y+1=（x+1），即x-2y-1=0.

解法五：在y=2x+1上任取兩點(diǎn)A（0，1）、B（-1，-1），它們關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A′（1，0）、B′（-1，-1）.A′B′所在的直線方程為=，即x-2y-1=0為反射光線所在的直線方程.

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